Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 697 стр. 183

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 697 стр. 183

1...712713714...751

697 стр. 183

Условие

Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Решение #1

1. Пусть $P$ — произвольный многоугольник с $n$ сторонами, и пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Обозначим вершины многоугольника как $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ .

2. Обозначим центр вписанной окружности как $O$ . Соединим центр $O$ с вершинами многоугольника отрезками $O A_{1}, O A_{2}, \dots, O A_{n}$ . Эти отрезки разделяют многоугольник на $n$ треугольников:

$A_{1} O A_{2}, A_{2} O A_{3}, \dots, A_{n - 1} O A_{n}, A_{n} O A_{1}$ .

3. Площадь каждого из этих треугольников можно выразить через основание (длину стороны многоугольника) и высоту (радиус вписанной окружности):

Для треугольника $A_{i} O A_{i}_{+ 1}$ основание будет равно длине стороны $A_{i} A_{i}_{+ 1} = a_{i}$ , а высота равна радиусу $r$ .

Таким образом, площадь каждого треугольника можно записать как:

$S_{i} =1/2 a_{i} r,$ где

$a_{i}$ — длина стороны многоугольника.

4. Общая площадь многоугольника $S_{P}$ будет равна сумме площадей всех треугольников:

$S_{P} = S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n} =1/2 (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) r .$

5. Периметр $P$ многоугольника определяется как сумма длин всех его сторон:

$P = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} .$

6. Теперь подставим выражение для периметра в формулу для площади:

$S_{P} =1/2 P r .$

Сообщить об ошибке

1...712713714...751