ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 690 стр. 182

1. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с AB = BC = 60 см, AC — основание треугольника, BH — высота, проведенная к основанию AC, O — центр вписанной окружности, BO : OH = 12 : 5.

2. Центр вписанной окружности в равнобедренном треугольнике лежит на высоте, проведенной к основанию. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины равнобедренного треугольника и до основания пропорциональны боковой стороне и основанию соответственно.

3. Обозначим BO = 12k, OH = 5k, BH = BO + OH = 17k.

4. В прямоугольном треугольнике ABH:

AB² = AH² + BH²

60² = AH² + (17k)²

5. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Поэтому AH = HC = AC/2.

6. Центр вписанной окружности O делит высоту BH в отношении, зависящем от длин сторон. Однако непосредственное использование этого отношения сложно. Лучше использовать формулу для радиуса вписанной окружности:

r = S/p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр.

r = OH = 5k

S = (1/2) * AC * BH = (1/2) * AC * 17k

p = (AB + BC + AC)/2 = (60 + 60 + AC)/2 = 60 + AC/2

5k = ((1/2) * AC * 17k) / (60 + AC/2)

Упростим:

10(60 + AC/2) = 17AC

600 + 5AC = 17AC

12AC = 600

AC = 50