Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 677 стр. 177

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 677 стр. 177

1...695696697...704

677 стр. 177

Условие

Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром окружности, касающейся прямых AB, ВС, АС.

Решение #1

1. Пусть $BO$ и $CO$ — биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ треугольника $A BC$ .

Это означает, что угол

$∠ K BC = 18 0^{\circ} - ∠ A BC$

$∠ BCM = 18 0^{\circ} - ∠ A CB$ ,

где точки $K$ и $M$ находятся на продолжениях сторон $A B$ и $A C$ , соответственно.

2. Поскольку $BO$ является биссектрисой внешнего угла, то по свойству биссектрисы отрезок $OF$ , проведенный из точки $O$ перпендикулярно к прямой $B K$ , будет равен отрезку $O D$ , проведенному перпендикулярно к прямой $BC$ :

$O D = OE .$

3. Так как $CO$ — биссектриса внешнего угла, то по аналогичному рассуждению отрезок $O D$ , проведенный из точки $O$ перпендикулярно к прямой $BC$ , будет равен отрезку $OF$ , проведенному перпендикулярно к прямой $CM$ :

$O D = OF .$

4. Равенство отрезков:

$O D = OE,$

Из второго пункта:

$O D = OF .$

Следовательно, мы можем записать:

$OE = OF = O D .$

Это значит, что все три отрезка равны между собой и представляют собой радиус окружности с центром в точке $O$ .

5. Поскольку отрезки, проведенные из точки центра окружности (точки O), перпендикулярны касательным линиям (прямым AB, BC и AC), то мы можем заключить, что прямая $A B$ является касательной к окружности в точке касания с радиусом, проведенным в точку касания, аналогично для прямых $BC$ и $A C$ .

Сообщить об ошибке

1...695696697...704