Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 672 стр. 172

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 672 стр. 172

1...691692693...704

672 стр. 172

Условие

Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В1 и C1, а другая — в точках В2 и С2. Докажите, что AB1 ⋅ АС1 = AB2 ⋅ АС2.

Решение #1

1. Обозначим окружность $O$ и точки $A$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ так, что секущая, проходящая через точку $A$ , пересекает окружность в точках $B_{1}$ и $C_{1}$ . Другая секущая пересекает окружность в точках $B_{2}$ и $C_{2}$ .

2. Рассмотрим треугольники $A C_{1} B_{2}$ и $A C_{2} B_{1}$ . Угол $A$ является общим для обоих треугольников. Углы $A C_{2} B_{1} = A C_{1} B_{2}$ (так как они являются углами, образованными секущими и хордой между ними). Эти углы равны половине угла, образованного отрезками радиусов к точкам касания на окружности:

$A C_{2} B_{1} = A C_{1} B_{2} =1/2 B_{1} B_{2}$

3. Треугольники $A C_{1} B_{2}$ и $A C_{2} B_{1}$ подобны:

$△ A C_{1} B_{2} \sim △ A C_{2} B_{1}$

4. Из подобия треугольников следует, что:

$A C ^{1} = A B ^{2/ A B 1}$

5. Умножаем обе стороны на произведение отрезков:

$A B_{1} \cdot A C_{1} = A B_{2} \cdot A C_{2}$

Таким образом, мы получили требуемое равенство:

$A B_{1} \cdot A C_{1} = A B_{2} \cdot A C_{2}$

Сообщить об ошибке

1...691692693...704