Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 668 стр. 172

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 668 стр. 172

1...688689690...704

668 стр. 172

Условие

Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Решение #1

1. Обозначим окружность $O$ с радиусом $r$ , где $A B$ — диаметр окружности. Пусть $C D$ — хорда, пересекающая диаметр $A B$ в точке $E$ , и перпендикуляр, проведённый из точки $O$ к хордe $C D$ , пересекает её в точке $E$ .

2. Поскольку $CO = O D = r$ , треугольник $CO D$ является равнобедренным (по определению).

3. Так как $A B ⊥ C D$ , то отрезок $OE$ является высотой в треугольнике $CO D$ . В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины (в данном случае из точки $O$ ), также является медианой. Это означает, что:

$CE = E D$

4. Теперь обозначим $A E = x,$ $EB = y.$

Следовательно, длина диаметра:

$A B = A E + EB = x + y$

5. Мы знаем, что произведение отрезков хорды равно произведению отрезков, на которые она делит диаметр:

$A E \cdot EB = CE \cdot E D$

6. Так как мы установили ранее, что $CE = E D$ , то можем записать:

$A E \cdot EB = C E^{2}$

7. Теперь выразим длину отрезка $CE$ : Отсюда получаем:

$CE =\sqrt(A E \cdot EB)$

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к диаметру, является средним пропорциональным для отрезков на диаметре:

$O E^{2} = A E \cdot EB$

Сообщить об ошибке

1...688689690...704