Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 643 стр. 166

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 643 стр. 166

1...665666667...704

643 стр. 166

Условие

Прямые AB и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, AB = 5 см.

Решение #1

1. У нас есть окружность с центром $O$ и касательные $A B$ и $A C$ , которые касаются окружности в точках $B$ и $C$ соответственно. Угол $∠ O A B = 3 0^{\circ}$ , а длина отрезка $A B = 5 см$ .

2. Поскольку $A B$ — касательная, то отрезок $OB$ перпендикулярен к касательной:

$OB ⊥ A B .$

Это означает, что треугольник $A OB$ является прямоугольным.

3. В треугольнике $A OB о$ бозначим длину отрезка $OB = x$ . Тогда длина отрезка $O A = 2 x$ , так как угол $O A B = 3 0^{\circ}$ .

4. Применяя теорему Пифагора к треугольнику $A OB$ :

$A O^{2} = A B^{2} + O B^{2} .$

Подставляя значения:

$(2 x)^{2} = 5^{2} + x^{2},$

что приводит к уравнению:

$4 x^{2} = 25 + x^{2} .$

Переносим все члены на одну сторону:

$4 x^{2} - x^{2} = 25,$

что упрощается до:

$3 x^{2} = 25.$

Таким образом,

$x^{2} = 25 ⟹ x = BO = 5\sqrt 3 см .$

5. Угол $BO A = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ . Поскольку угол между радиусом и касательной равен углу между радиусом и другой касательной (так как они равны по свойству касательных), угол $BOE = 6 0^{\circ}$ . Тогда угол BAC = $9 0^{\circ — 60\circ = 30\circ.}$

6. Теперь найдем длину отрезка $BE$ в треугольнике $BOE$ , используя косинус угла:

$BE = BO \cdot cos (3 0^{\circ}) = BO \cdot \sqrt 3/2 = 5\sqrt 3 * \sqrt 3/2 = 5* 3 см .$

7. Длина отрезка $BC$ будет в два раза больше, так как точки B и C симметричны относительно линии AO:

$BC = BE * 2 = * 2 =5 см .$

Сообщить об ошибке

1...665666667...704