Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 632 стр. 166

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 632 стр. 166

1...654655656...663

632 стр. 166

Условие

Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.

Решение #1

1. Пусть дана окружность с центром $O$ и радиусом $r$ . По условию, расстояние от точки $A$ до центра окружности меньше радиуса: $A O < r .$ Обозначим расстояние от точки $A$ до прямой $a$ как $d$ .

2. Построим перпендикуляр $OC$ из центра окружности $O$ на прямую $a$ . Точка пересечения перпендикуляра и прямой будет обозначена как $C$ . Таким образом, $OC = d$ .

3. В треугольнике $A CO$ угол $C = 9 0^{\circ}$ . По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:

$O A^{2} = A C^{2} + O C^{2} .$

4. Из этого уравнения выразим длину отрезка $OC$ :

$OC =\sqrt(O A^{2} - A C^{2} .$

5. Поскольку мы знаем, что $A O < r$ , то если точка $C$ находится на прямой, проходящей через точку $A$ , то отрезок $A C < A O$ .

6. Теперь рассмотрим длину отрезка $OC$ . Поскольку $A O < r$ , то:

$O A^{2} < r^{2} .$

7. Так как для любого значения $A C > 0$ , выполняется неравенство:

$OC =\sqrt(O A^{2} - A C^{2} < r,$

следовательно, расстояние от центра окружности до прямой (то есть длина отрезка $OC$ ) меньше радиуса окружности.

8. Следовательно, прямая, проходящая через точку $A$ , будет пересекать окружность в двух точках, так как расстояние от центра окружности до этой прямой меньше радиуса.

Сообщить об ошибке

1...654655656...663