ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 616 стр. 160

Дано: треугольник ABC, прямая a, содержащая среднюю линию EF (где E и F — середины сторон AC и AB соответственно), AN⊥a, BP⊥a, CM⊥a.

Рассмотрим треугольники BPF и FMC. Треугольники BPF и FMC являются прямоугольными. По условию, поскольку E и F — середины сторон, имеем:

BF=FC.

Углы BFP=MFC (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники BPF∼FMC по гипотенузе и острому углу.

Из подобия следует, что BP=MC.

Рассмотрим треугольники ENA и BPF. Треугольники также являются прямоугольными. • По условию, поскольку точки E и A — середины сторон, имеем:

EB=EA.

Углы BEP=NEA (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники также подобны:

ENA∼BPF.

Из подобия следует, что:

AN=BP.

Теперь мы имеем два равенства:

BP=MC.

AN=BP.

Таким образом:

BP=MC и AN=BP.

Следовательно,

MC=AN.

Таким образом, мы пришли к выводу, что все три отрезка равны:

AN=BP=MC.

Это означает, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.