ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 576 стр. 153

Пусть AC = 6x и BC = 5x, где x — коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора, гипотенуза AB = √((6x)² + (5x)²) = √(36x² + 25x²) = √(61x²) = x√61.

Высота CD делит гипотенузу на отрезки AD и DB. Дано, что AD = DB + 11. Также известно, что в прямоугольном треугольнике площадь можно выразить двумя способами:

1. S = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 6x * 5x = 15x²

2. S = (1/2) * AB * CD = (1/2) * x√61 * CD

Кроме того, в прямоугольном треугольнике выполняется соотношение:

CD² = AD * DB.

Поскольку AD = DB + 11, можно записать:

CD² = DB * (DB + 11)

Теперь нужно выразить CD через x. Используем соотношение площадей:

15x² = (1/2) * x√61 * CD

CD = (30x) / √61

Подставляем это в уравнение CD² = DB * (DB + 11):

((30x) / √61)² = DB * (DB + 11)

900x² / 61 = DB² + 11DB

Это квадратное уравнение относительно DB. Однако, есть более простой путь. Из подобия треугольников ACD и ABC имеем:

AC/AB = AD/AC

6x / (x√61) = AD / 6x

AD = 36x / √61

Аналогично, из подобия треугольников BCD и ABC имеем:

BC/AB = BD/BC

5x / (x√61) = BD / 5x

BD = 25x / √61

Теперь используем условие AD = DB + 11:

36x / √61 = 25x / √61 + 11

11x / √61 = 11

x = √61

Следовательно, гипотенуза AB = x√61 = √61 * √61 = 61 см.