ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 575 стр. 152

Обозначим длины катетов как AC=3k, BC=4k.

По теореме Пифагора для треугольника ABC имеем:

AB²=AC²+BC².

Подставим значения:

50²=(3k)²+(4k)².

Это можно записать как:

2500=9k²+16k²,

2500=25k².

Теперь найдем k:

k²=2500/25​=100⇒k=10.

Теперь подставим значение k для нахождения катетов:

AC=3k=3⋅10=30 мм

BC=4k=4⋅10=40 мм

Теперь найдем высоту CD, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе. Для этого используем формулу для высоты в прямоугольном треугольнике:

h=AC⋅BC/AB.

Подставляем известные значения:

h=30 мм⋅40 мм​/50 мм.

Это дает:

h=1200​/50=24 мм.

Пусть точка пересечения высоты с гипотенузой — это точка D. Мы можем использовать соотношение между отрезками, на которые делит высота гипотенузу. Обозначим отрезки:

AD=x (отрезок от A до D)

DB=y (отрезок от D до B)

Согласно свойству прямоугольного треугольника, справедливо следующее соотношение:

h²=xy.

Также известно, что:

x+y=AB,

где AB=c.

Мы знаем, что h=24 мм, и подставим это в уравнение:

Подставляем в уравнение для высоты:

h²=xy,

где

h²=24²=576.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

1. x+y=50,

2. xy=576.

Из первого уравнения выразим y:

y=50−x.

Подставляем во второе уравнение:

x(50−x)=576,

Раскроем скобки:

50x−x²−576=0,

Приведем к стандартному виду:

x²−50x+576=0.

Теперь найдем дискриминант:

D=b²−4ac=(−50)²−4∗1∗576=2500−2304=196.

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

x=−b+√D​​/2a=50+√196​​/2=25+7=32,

и

y=−b−√D​​/2a=50−√196​​/2=25−7=18.