решебник.рф ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 569 стр. 152
Пусть дана трапеция , где и — основания, причем . Обозначим: — середина диагонали — середина диагонали
Проведем через точку прямую , такую что:
Поскольку и , по теореме Фалеса получаем:
Это означает, что отрезок равен отрезку .
Установим, что является средней линией.
Теперь у нас есть:
Таким образом, отрезок является средней линией в треугольнике .
По свойству средней линии:
Так как мы уже установили, что точки и являются срединами сторон (в данном случае диагоналей), то проведем аналогичный анализ для треугольника .
Отрезок также будет средней линией в этом треугольнике:
Теперь мы можем выразить длину отрезка между серединами диагоналей:
Так как мы установили, что отрезок лежит на линии, параллельной основанию (так как он параллелен линии, проведенной через середину одной из сторон), а также сам отрезок параллелен основанию трапеции (то есть линии AD), следовательно:
и