ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 568 стр. 152

а) Пусть дан прямоугольник ABCD, где: M — середина стороны AB, N — середина стороны BC, K — середина стороны CD, E — середина стороны DA.

Рассмотрим треугольник ABC.

Поскольку N — середина стороны BC, то:

BN=NC

Поскольку M — середина стороны AB, то:

AM=MB

Следовательно, отрезок NM является средней линией треугольника ABC:

NM=1/2AC

Рассмотрим треугольник ADC

Поскольку K — середина стороны CD, то:

CK=KD

Поскольку E — середина стороны DA, то:

AE=ED

Следовательно, отрезок KE является средней линией треугольника ADC:

KE=1/2AC

Мы установили, что отрезки NM и KE равны и параллельны. То есть:

NM=KE=1/2AC

Аналогично можно показать, что отрезки ME и KN также равны и параллельны. Таким образом, мы имеем две пары противоположных сторон (по аналогии с предыдущим доказательством), которые равны и параллельны.

Таким образом, четырехугольник, образованный точками средних линий (серединами сторон прямоугольника), является ромбом.

б) Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где основание AB∣∣CD, и длины боковых сторон равны. Обозначим M — середина стороны AB, N — середина стороны BC, K — середина стороны CD, E — середина стороны DA.

Рассмотрим треугольник ABC.

Поскольку трапеция равнобедренная, то отрезок MN будет средней линией.

Следовательно, отрезок NM является средней линией в этом треугольнике и его длина будет равна половине длины основания AB.

Рассмотрим треугольник ADC

Аналогично для треугольника ADC.

Отрезок KE также будет средней линией и его длина будет равна половине длины основания CD.

Поскольку основание AB∣∣CD, а также M и K являются серединными линиями соответственно: отрезки NM и KE будут равны по длине.

У нас есть две пары противоположных сторон (по аналогии с предыдущими доказательствами), которые равны.

Таким образом, четырехугольник, образованный точками средних линий (серединами сторон равнобедренной трапеции), является ромбом.