Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 567 стр. 152

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 567 стр. 152

1...594595596...653

567 стр. 152

Условие

Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).

Решение #1

Пусть дан четырехугольник $A BC D$ . Обозначим: $M$ — середина стороны $A B,$ $N$ — середина стороны $BC,$ $K$ — середина стороны $CD,$ $E$ — середина стороны $D A.$

Рассмотрим треугольник $A BC$

Поскольку $N$ — середина стороны $BC$ , то:

$BN = NC$

Поскольку $M$ — середина стороны $A B$ , то:

$A M = MB$

Следовательно, отрезок $NM$ является средней линией треугольника $A BC$ :

$NM =1/2 A C$

Рассмотрим треугольник $A D C$

Поскольку $K$ — середина стороны $C D$ , то:

$C K = KD$

Поскольку $E$ — середина стороны $D A$ , то:

$A E = E D$

Следовательно, отрезок $K E$ является средней линией треугольника $A D C$ :

$K E =1/2 A C$

Мы установили, что отрезки $NM$ и $K E$ равны и параллельны. Так как оба отрезка равны половине длины отрезка $A C$ :

$NM = K E =1/2 A C$

Поскольку отрезки $NM$ и $K E$ равны ( $NM = K E$ ) и параллельны ( $NM ∣∣ K E$ ), это означает, что четырехугольник $MN K E$ является параллелограммом по признаку (если две противоположные стороны равны и параллельны).

Сообщить об ошибке

1...594595596...653