ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 558 стр. 144

1. Рассмотрим прямые a и b, которые пересечены параллельными прямыми AA1, BB1, CC1. Точки A, B, C лежат на прямой a, а точки A1, B1, C1 — на прямой b.

2. Проведем через точку B прямую BB2, параллельную прямой b, и через точку C — прямую CC2, также параллельную прямой b. Таким образом, получаем две новые точки: B2 и C2.

3. Угол A является общим для треугольников ABB2 и ACC2. Поскольку линии BB2 и CC2 параллельны линии b, то угол ABB2 = угол ACC2 (как соответственные углы).

4. Следовательно, треугольники ABB2 и ACC2 подобны по двум углам (по углу A и по соответственным углам). Из подобия треугольников имеем:

AB/AB2 = BC/B2C2

5. Рассмотрим четырехугольник AC2C1A1. Поскольку стороны AC1 и  A1C2 являются параллельными (по свойству параллелограмма), то:

AB2 = A1B1

B2C2 = B1C1

6. Подставляем эти равенства в пропорцию:

BC/B1C1 = AB/A1B1

A1B1/B1C1 = AB/BC

Итак, мы получили требуемое соотношение:

AB/BC = A1B1/B1C1.