ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 511 стр. 134

а)

1. Обозначим высоту BH из точки B на сторону AD и высоту CF из точки C на ту же сторону AD.

2. Поскольку ABCD — трапеция, то высоты BH и CF равны, так как они опущены на одну и ту же основу:

BH = CF.

3. Площадь треугольника ABD:

S_ABD = 1/2 AD * BH.

Площадь треугольника ACD:

S_ACD = 1/2 AD * CF.

4. Так как BH = CF, получаем:

S_ABD = S_ACD.

б)

1. Из предыдущего пункта мы знаем, что:

S_ABD = S_ACD.

2. Площадь треугольника ABO = S_ABD — S_AOD.

Площадь треугольника CDO = S_ACD — S_AOD.

3. Подставив известные площади, получаем:

S_ABO = S_ABD — S_AOD,

S_CDO = S_ACD — S_AOD.

4. Так как S_ABD = S_ACD, то:

S_ABO = S_CDO.

в)

1. Углы при точке пересечения диагоналей:

угол BOA = угол COD (как вертикальные углы).

2. Используя теорему о пропорциональности сторон в подобных треугольниках (треугольники с равными углами):

S_ABO/S_CDO= BO/OC = 1.

3. Мы знаем, что:

S_ABO = S_CDO.

Следовательно,

1 = BO/OC.

4. Учитывая, что

S_ABO = (OA * OB) / 2,

и

S_CDO = (OC * OD) / 2,

мы можем записать:

(OA * OB) / (OC * OD) = 1.

5. Умножив обе стороны на OC * OD, получаем:

OA * OB = OC * OD,

что и требовалось доказать.