Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 508 стр. 134

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 508 стр. 134

1...555556557...653

508 стр. 134

Условие

Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

Решение #1

1. Пусть $A BC$ — равнобедренный треугольник с $A B = BC$ . Обозначим основание $A C$ , а высоту из вершины $B$ на основание $A C$ обозначим как $h$ .

2. Пусть точка $M$ находится на основании $A C$ . Проведем перпендикуляры^ $MN$ — перпендикуляр из точки $M$ к стороне $BC,$ $M K$ — перпендикуляр из точки $M$ к стороне $A B$ .

3. Рассмотрим площадь треугольника $A BC.$ Площадь можно выразить через высоту, проведенную к основанию:

$S_{A BC} =1/2 A C \cdot h .$

4. Мы можем выразить площадь треугольника двумя способами, используя разные высоты:

Площадь через точку $M$ :

$S_{A BC} = S_{A BM} + S_{MBC},$

где $S_{A BM} =1/2 A B \cdot M K$ , $S_{MBC} =1/2 BC \cdot MN$ .

5. Теперь рассмотрим другую точку на основании, обозначим её как $F.$ Проведем перпендикуляры: $FE$ — перпендикуляр из точки $F$ к стороне $BC$ , $FQ$ — перпендикуляр из точки $F$ к стороне $A B$ .

6. Площадь можно выразить следующим образом:

$S_{A BC} = S_{FBC} + S_{A BF},$

где $S_{FBC} = 1/2 BC * FE$ , $S_{A BF} = 1/2 A B * FQ$ .

7. Теперь у нас есть два выражения для площади треугольника:

$S_{A BM} + S_{MBC} = S_{FBC} + S_{A BF} .$

8. Подставляем выражения для площадей в уравнение:

$1/2 A B \cdot M K + 1/2 BC \cdot MN = 1/2 BC * FE + 1/2 A B * FQ .$

9. Учитывая, что стороны равнобедренного треугольника равны ( $A B = BC$ ), можем упростить выражение:

$A B \cdot M K + AB \cdot MN = AB * FE + A B * FQ .$

AB(MK+MN)=AB(FE+FQ) |:AB

$M K + MN = FE + FQ .$

Сообщить об ошибке

1...555556557...653