ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 495 стр. 133

Чтобы найти площадь трапеции, воспользуемся формулой:

S = 1/2 (a+b) *h, где a и b — основания трапеции, а h — её высота.

S = 1/2 (AB + CD) * h

Найдем высоту трапеции h для каждого случая.

а) Эта трапеция является равнобедренной, так как боковые стороны равны (BC = DA).

Начертим трапецию ABCD с основаниями AB и CD. Опустим перпендикуляры из вершин A и B на основание CD. Обозначим точки пересечения как E и F соответственно. AE и BF — это высоты трапеции (AE = BF = h).

Четырехугольник ABFE — прямоугольник, поэтому EF = AB = 10 см.

Треугольники ADE и BCF — прямоугольные и равные (по гипотенузе и катету, если бы мы знали катет, или по гипотенузе и острому углу, если бы знали угол; в данном случае по гипотенузе и равной проекции).

Длины отрезков DE и FC равны:

DE = FC = (CD — AB)/2 = (20 — 10)/2 = 10/2 = 5 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. Гипотенуза AD = 13 см, катет DE = 5 см. По теореме Пифагора найдем высоту AE = h:

AD² = AE² + DE²

13² = h² + 5²

169 = h² + 25

h² = 169 — 25 = 144

h = √144 = 12 см.

Теперь вычислим площадь:

S = 1/2 (AB + CD) * h = 1/2 (10 + 20) * 12 = 1/2 * 30 * 12 = 15 * 12 = 180 см²

б) Трапеция ABCD является равнобедренной, так как углы при основании CD равны (∠C = ∠D).

Опустим высоты AA’ и BB’ из вершин A и B на основание CD. Получим прямоугольник ABB’A’ и два равных прямоугольных треугольника ADA’ и BCB’.

В прямоугольнике ABB’A’: A’B’ = AB = 8 см, AA’ = BB’ = h (высота трапеции).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCB’. ∠C = 60°, ∠BB’C = 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠CBB’ = 180° — 90° — 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике с углом 30°, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Катет B’C лежит напротив угла 30°. Гипотенуза BC = 8 см.

Следовательно, B‘C = BC/2 = 8/2 = 4 см.

Катет BB’ (высота h) лежит напротив угла 60°. В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60°, 90°, катет напротив 60° равен катету напротив 30°, умноженному на √3}.

Следовательно, h = BB’ = B’C √3 = 4 * √3 = 4√3 см.

Так как трапеция равнобедренная, DA’ = B’C = 4 см. Основание CD = DA’ + A’B’ + B’C = 4 + 8 + 4 = 16 см.

Теперь найдем площадь трапеции:

S = (AB + CD)/2 * h = (8 + 16)/2 * 4√3 = 24/2 * 4√3 = 12 * 4√3 = 48√3 см².

в) Трапеция ABCD является равнобедренной, так как углы при основании CD равны (∠C = ∠D).

Опустим высоты AA’ и BB’ из вершин A и B на основание CD. Получим прямоугольник ABB’A’ и два равных прямоугольных треугольника ADA’ и BCB’.

В прямоугольнике ABB’A’: A’B’ = AB = 6 см, AA’ = BB’ = h (высота трапеции).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCB’. ∠C = 45°, ∠BB’C = 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠CBB’ = 180° — 90° — 45° = 45°.

Так как углы при гипотенузе равны 45°, треугольник BCB’ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Катеты равны: BB’ = B’C.

Гипотенуза BC = 9√2 см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на √2.

BC = BB’ √2

9√2 = h √2

h = 9 см.

Следовательно, B’C = h = 9 см.

Так как трапеция равнобедренная, DA’ = B’C = 9 см.

Основание CD = DA’ + A’B’ + B’C = 9 + 6 + 9 = 24 см.

Теперь найдем площадь трапеции:

S = AB + CD/2 * h = (6 + 24)/2 * 9 = 30/2 * 9 = 15 * 9 = 135 см².