ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 428 стр. 114

Пусть дан параллелограмм ABCD, смежные стороны AB и AD не равны (это условие подчеркивает, что ромб, где стороны равны, является частным случаем, и биссектрисы могут пересечься в точке, если это ромб), проведены биссектрисы всех углов: AA1, BB1, CC1, DD1. Пусть точки пересечения этих биссектрис образуют четырёхугольник NMPS.

1. ABCD — параллелограмм, следовательно по свойству противоположных углов параллелограмма ∠A = ∠C; ∠B = ∠D.

По свойству смежных (односторонних) углов параллелограмма ∠A + ∠B = 180°; ∠C + ∠D = 180° (как односторонние при ВС || AD и секущих ВА и CD)».

2.

• Рассмотрим треугольник ABN (где N — точка пересечения биссектрис AA1 и BB1).

AN является биссектрисой ∠A, поэтому ∠BAN = 1/2 ∠A.

BN является биссектрисой ∠B, поэтому ∠ABN = 1/2 ∠B.

Так как ∠A + ∠B = 180°, то сумма половин этих углов: 1/2 ∠A + 1/2 ∠B = 1/2 (∠A + ∠B) = 1/2 * 180° = 90°.

• Аналогично, рассмотрим треугольник CDP (где P — точка пересечения биссектрис CC1 и DD1).

DP является биссектрисой ∠D, поэтому ∠PDC = 1/2 ∠D.

CP является биссектрисой ∠C, поэтому ∠DCP = 1/2 ∠C.

Так как ∠C + ∠D = 180°, то сумма половин этих углов: 1/2 ∠D + 1/2 ∠C = 1/2 (∠D + ∠C) = 1/2 * 180° = 90°.

3. В треугольнике ABN, мы знаем, что ∠BAN + ∠ABN = 90°. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠BNA = 180° — (∠BAN + ∠ABN) = 180° — 90° = 90°. Следовательно, треугольник ABN — прямоугольный с прямым углом при вершине N.

Аналогично, в треугольнике CDP, мы знаем, что ∠PDC + ∠DCP = 90°. Следовательно, ∠CPD = 180° — (∠PDC + ∠DCP) = 180° — 90° = 90°. Треугольник CDP — прямоугольный с прямым углом при вершине P.

4. Угол MNS и угол BNA являются вертикальными углами, образованными пересечением прямых AA1 и BB1. Если ∠BNA = 90°, то и ∠MNS = 90°.

Угол ∠MPS и угол ∠CPD (или ∠CPD) являются вертикальными углами, образованными пересечением прямых CC1 и DD1. Если ∠CPD = 90°, то и ∠MPS = 90°.

Таким образом, мы уже доказали, что два противоположных угла четырёхугольника NMPS прямые.

5. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны. Например, биссектриса угла А параллельна биссектрисе угла С, а биссектриса угла В параллельна биссектрисе угла D. Это следует из того, что биссектрисы делят равные углы на равные части, и их взаимное расположение (например, биссектрисы углов B и D) будет параллельным.

Значит, биссектрисы AA1 и CC1 параллельны.

6. Мы уже доказали, что ∠N (∠MNS) = 90° и ∠P (∠MPS) = 90°.

Поскольку NMPS является параллелограммом, и у него есть два противоположных прямых угла, то это уже достаточно для того, чтобы он был прямоугольником (поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то все четыре угла будут прямыми).