ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 411 стр. 112

1. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом в C. Обозначим D как точку пересечения биссектрисы угла C с гипотенузой AB. Проведем прямую DF, параллельную катету AC, и прямую DE, параллельную катету BC.

2. Поскольку DF∥AC и DE∥BC, то по определению параллелограмма CFDE — параллелограмм.

3. Углы при секущей ∠DEC+∠C=180∘.

Так как угол C=90∘, то ∠DEC=90∘.

4. Поскольку угол DEC=90∘ и стороны DF и DE являются параллельными к катетам, то углы при вершинах ∠E=90∘, ∠F=90∘, ∠C=90∘, ∠D=90∘.

Следовательно, четырёхугольник CFDE является прямоугольником.

5. Из свойств биссектрисы прямого угла в треугольнике следует, что отрезки EC=DF, CF=ED.

6. По свойству биссектрисы мы знаем, что угол между катетами равен: ​∠DCF = 1/​2*∠C = 1/​2*90° = 45°.

7. Поскольку угол F равен 90°, а угол CDF равен 45°, следовательно, треугольник CFD является равнобедренным, и мы можем записать: ​DF = CF.

8. Мы имеем равенства сторон: ​ED = CF, CF = DF, EC = DF.

Таким образом, все стороны равны: ​ED = CF = DF = EC.

9. Четырёхугольник CFDE является квадратом (по определению квадрата).