Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 408 стр. 112

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 408 стр. 112

1...431432433...611

408 стр. 112

Условие

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

Решение #1

а)

1. Пусть $A BC D$ — параллелограмм:

В этом случае по свойству параллелограмма $BC = A D, C D = A B .$

Обозначим точку пересечения диагоналей $A C$ и $B D$ как $O$ . Тогда $BO = O D, CO = A O .$

2. Треугольники $COB$ и $CO D$ :

Поскольку $BO = O D$ и $CO$ — общая сторона, то треугольники $COB$ и $CO D$ равны по двум катетам (по определению):

$COB = CO D .$

3. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны $BC = C D .$

4. Поскольку мы имеем равенство всех сторон $A B = C D, BC = A D, т$ о есть все стороны равны $A B = BC = C D = A D .$ Следовательно, параллелограмм $A BC D$ является ромбом (по определению ромба).

б)

1. Пусть $A C$ — диагональ параллелограмма. Если она делит угол $A$ пополам, то $∠ A C D = ∠ D A C .$ Следовательно, треугольник $C D A$ является равнобедренным $C D = A D .$

2. Аналогично для угла $B$ :

$∠ BC A = ∠ B A C$ , следовательно, треугольник $A BC$ также является равнобедренным BC = AB.

3. Параллелограмм имеет свойства: BC = AD, CD = AB (по свойству параллелограмма).

4. Мы имеем равенство всех сторон: AB = CD, BC = AD. Таким образом, AB = BC = CD = AD. Следовательно, параллелограмм $A BC D$ является ромбом (по определению ромба).

Сообщить об ошибке

1...431432433...611