ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 404 стр. 112

Дан прямоугольный треугольник ABC, угол C (∠ACB) является прямым, то есть ∠ACB = 90°, CO — медиана, проведённая из вершины C к гипотенузе AB. (Это означает, что O является серединой гипотенузы AB).

1. Продлим медиану CO за точку O на её длину. Отметим на этом продолжении точку D так, чтобы отрезок OD был равен отрезку CO (OD = CO).

Соединим точки A и D, а также B и D. Таким образом, мы получаем четырёхугольник ACBD.

2. В четырёхугольнике ACBD диагонали AB и CD пересекаются в точке O.

Так как CO — медиана, O является серединой AB (AO = OB).

По построению, OD = CO, значит O является серединой CD (CO = OD).

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник ACBD является параллелограммом.

3. Мы знаем, что в параллелограмме противоположные углы равны.

В параллелограмме ACBD угол ∠ACB равен 90° (по условию, так как треугольник ABC прямоугольный).

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником.

Следовательно, четырёхугольник ACBD является прямоугольником.

4. В прямоугольнике диагонали равны по длине.

Значит, диагональ AB = диагонали CD.

5. По построению, отрезок CD состоит из отрезков CO и OD.

CD = CO + OD.

Поскольку мы построили OD = CO, то CD = CO + CO = 2 * CO.

Мы доказали, что AB = CD.

Подставим выражение для CD: AB = 2 * CO.

Разделим обе части на 2: CO = 1/2 AB.

Что и требовалось доказать.