ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 39 стр. 17

Пусть:

• Отрезок AB длиной a.
• Точка C, лежащая на отрезке AB.
• M — середина отрезка AC.
• N — середина отрезка CB.

Выразим длины отрезков AM и CN:

Так как M — середина AC, то $AM = \frac{AC}{2}.$

Так как N — середина CB, то $CN = \frac{CB}{2}.$

Отрезок MN состоит из отрезков MC и CN. Поскольку M — середина AC, то $MC = \frac{AC}{2}.$ Таким образом, $MN = MC + CN = \frac{AC}{2} + \frac{CB}{2}.$

Упростим выражение для MN:

$MN = \frac{AC}{3} + \frac{CB}{2} = \frac{(AC + CB)}{2}$

Так как точка C лежит на отрезке AB, то AC + CB = AB = a.

Подставим в выражение для MN:

$MN = \frac{(AC + CB)}{2} = \frac{a}{2}$

Расстояние между серединами отрезков равно $\frac{a}{2}.$

Обоснование ответа:

Вне зависимости от положения точки C на отрезке AB, расстояние между серединами получившихся отрезков всегда будет равно половине длины исходного отрезка. Это связано с тем, что взятие середины фактически делит каждый из отрезков пополам, а сумма этих половин всегда равна половине длины всего отрезка.