ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 389 стр. 105

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC (AD || BC).

а) Углы при основании равны (угол A = угол D, угол C = угол B)

Докажем, что боковые стороны AB и CD равны.

1. Построим из вершин В и С перпендикуляры к основанию AD: BB1 перпендикулярно AD и CC1 перпендикулярно AD. Точки B1 и C1 лежат на прямой AD.

2. BB1 = CC1 = h, так как они являются высотами трапеции, проведенными между параллельными прямыми AD и BC.

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABB1 (с прямым углом при B1) и DCC1 (с прямым углом при C1).

4. В этих треугольниках мы имеем:

BB1 = CC1 (доказано в п.2).

Угол A = Угол D (дано по условию).

Угол AB1B = Угол DC1C = 90° (по построению).

В прямоугольном треугольнике ABB1 угол ABB1 = 90° — Угол A.

В прямоугольном треугольнике DCC1 угол DCC1 = 90° — Угол D.

Так как Угол A = Угол D, то Угол ABB1 = Угол DCC1.

5. Следовательно, прямоугольные треугольники ABB1 и DCC1 равны по гипотенузе и острому углу (у нас есть катет BB1=CC1 и острый угол A=D; или катет BB1=CC1 и прилежащий острый угол ABB1=DCC1). Используем признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу: BB1=CC1 (катеты) и Угол A = Угол D (острые углы, прилежащие к гипотенузам).

6. Из равенства треугольников ABB1 и DCC1 следует равенство соответствующих сторон: AB = CD.

7. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

8. Следовательно, ABCD — равнобедренная трапеция.

б) Диагонали трапеции равны (AC = BD)

Докажем, что боковые стороны AB и CD равны.

1. Построим из вершин В и С перпендикуляры к основанию AD: BB1 перпендикулярно AD и CC1 перпендикулярно AD. Точки B1 и C1 лежат на прямой AD.

2. BB1 = CC1 = h, так как они являются высотами трапеции, проведенными между параллельными прямыми AD и BC.

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACC1 (с прямым углом при C1) и BDB1 (с прямым углом при B1).

4. В этих треугольниках мы имеем:

• AC = BD (гипотенузы, дано по условию).
• CC1 = BB1 (катеты, доказано в п.2).
• Угол AC1C = Угол BB1D = 90° (по построению).

5. Следовательно, прямоугольные треугольники ACC1 и BDB1 равны по гипотенузе и катету (AC=BD и CC1=BB1).

6. Из равенства треугольников ACC1 и BDB1 следует равенство соответствующих катетов: AC1 = B1D.

7. Предполагая, что B1 и C1 лежат на основании AD в порядке A, B1, C1, D (что верно для непересекающейся трапеции с равными диагоналями), запишем:

AC1 = AB1 + B1C1

B1D = B1C1 + C1D

Так как AC1 = B1D (доказано в п.6), то AB1 + B1C1 = B1C1 + C1D.

Вычитая B1C1 из обеих частей равенства, получаем AB1 = C1D.

8. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ABB1 (с прямым углом при B1) и DCC1 (с прямым углом при C1).

9. В этих треугольниках мы имеем:

• BB1 = CC1 (катеты, доказано в п.2).
• AB1 = C1D (катеты, доказано в п.7).
• Угол AB1B = Угол DC1C = 90° (по построению).

10. Следовательно, прямоугольные треугольники ABB1 и DCC1 равны по двум катетам (BB1=CC1 и AB1=C1D).

11. Из равенства треугольников ABB1 и DCC1 следует равенство соответствующих гипотенуз: AB = CD.

12. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

13. Следовательно, ABCD — равнобедренная трапеция.