решебник.рф ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 381 стр. 104
На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О1А и О2В равны. Стержень AB, длина которого равна расстоянию O1O2 между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки AB и O1O2 либо параллель-ны, либо лежат на одной прямой.
1. Рассмотрим четырехугольник O1ABO2.
Для наглядности, соединим точки O1, A, B, O2 последовательно, образуя четырехугольник O1ABO2.
2. Определим длины сторон этого четырехугольника на основе данных условий:
Сторона O1A (радиус первого колеса).
Сторона O2B (радиус второго колеса). По условию, O1A = O2B. Эти стороны являются противоположными сторонами четырехугольника O1ABO2.
Сторона AB (длина стержня).
Сторона O1O2 (расстояние между центрами). По условию, AB = O1O2. Эти стороны также являются противоположными сторонами четырехугольника O1ABO2.
3. Применим признак параллелограмма:
Четырехугольник является параллелограммом, если обе пары его противоположных сторон равны.
В нашем случае:
O1A = O2B (одна пара противоположных сторон равна).
AB = O1O2 (вторая пара противоположных сторон равна).
Следовательно, четырехугольник O1ABO2 является параллелограммом.
4. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны.
Так как отрезки AB и O1O2 являются противоположными сторонами параллелограмма O1ABO2, то они параллельны:
AB || O1O2
5. Параллельные отрезки могут либо быть расположены на разных, но параллельных прямых, либо лежать на одной и той же прямой.
Если точки A и B лежат на прямой, проходящей через O1 и O2 (то есть, O1, A, B, O2 являются коллинеарными), то отрезки AB и O1O2 будут лежать на одной прямой. Это происходит, например, когда стержень AB находится в «мертвой точке» — в положении, когда точки A и B максимально удалены или максимально приближены к прямой O1O2 (в данном случае, радиусы O1A и O2B направлены вдоль линии O1O2).
Исходя из того, что четырехугольник O1ABO2 является параллелограммом (по признаку равенства противоположных сторон), его противоположные стороны AB и O1O2 должны быть параллельны. Состояние параллельности включает в себя и случай, когда отрезки лежат на одной прямой (т.е. являются сонаправленными и лежат на одной линии).
Таким образом, доказано, что отрезки AB и O1O2 либо параллельны (и не совпадают), либо лежат на одной прямой.