Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 380 стр. 104

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 380 стр. 104

1...407408409...420

380 стр. 104

Условие

На сторонах AB, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Решение #1

1. Рассмотрим стороны $BC$ и $A D$ :

По условию $BN = Q D$ и $NC = Q A$ .

Следовательно:

$BC = BN + NC = Q D + Q A = A D .$

2. Теперь рассмотрим стороны $A B$ и $C D$ :

По условию $A M = CP$ и $BM = D P$ .

Следовательно:

$A B = BM + M A = D P + A M = C D .$

3. Поскольку мы доказали, что $BC = A D$ и $A B = C D$ , то по второму признаку равенства (две пары противоположных сторон равны) четырехугольник $A BC D$ является параллелограммом.

4. Угол ∠ $B =∠ D$ (как противоположные углы в параллелограмме). Это означает, что треугольники $MBN$ и $P D Q$ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно:

$MBN = P D Q .$

5. Аналогично, ∠ $A =∠ C$ (как противоположные углы в параллелограмме). Это означает, что треугольники $M A Q$ и $NCP$ равны по двум сторонам и углу между ними: • Следовательно:

$M A Q = NCP .$

6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие элементы равны, то есть: $MN = PQ$ , $MQ = NP$ .

7. Поскольку у нас есть две пары противоположных сторон (MN || PQ и MQ || NP), это означает, что четырехугольник $MNPQ$ является параллелограммом по второму признаку параллелограмма.

Сообщить об ошибке

1...407408409...420