Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 379 стр. 104

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 379 стр. 104

1...406407408...413

379 стр. 104

Условие

Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВK и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

Решение #1

1. В параллелограмме $A BC D$ стороны $BC$ и $A D$ параллельны:

$BC ∥ A D .$

Прямая $A C$ является секущей, поэтому углы $∠ B A C$ и $∠ A C D$ равны (как накрест лежащие):

$∠ B A C = ∠ A C D .$

2. Поскольку $A B = C D$ (по свойству параллелограмма), то у нас есть равные стороны.

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники $A K B$ и $CM D$ :

$∠A K B$ и $∠$ $CM D$ являются прямыми (по определению перпендикуляров).

$∠B A C$ и $∠$ $A C D$ равны (как накрест лежащие).

Таким образом, по второму признаку равенства треугольников:

$△ A K B = △ CM D .$

4. Из равенства треугольников следует, что соответствующие элементы равны:

$∠ A K B = ∠ CM D$ .

5. Поскольку отрезок $D M$ перпендикулярен к прямой $A C$ , а отрезок $B K$ также перпендикулярен к прямой $A C$ , то по свойству перпендикуляров отрезки $D M$ и $B K$ будут параллельны:

$D M ∥ B K .$

6. Теперь мы имеем две пары противоположных сторон:

$BM ∥ DK$ ,

$D M ∥ B K$ .

По определению, если в четырехугольнике две пары противоположных сторон параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, четырёхугольник $BM DK$ является параллелограммом.

Сообщить об ошибке

1...406407408...413