ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 376 стр. 103

Для нахождения углов параллелограмма ABCD мы будем использовать его основные свойства:

1. Противоположные углы параллелограмма равны: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.

2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне (смежных углов), равна 180°: ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°, ∠C + ∠D = 180°, ∠D + ∠A = 180°.

Рассмотрим каждый случай:

а) ∠A = 84°

По свойству противоположных углов: ∠C = ∠A = 84°.

По свойству смежных углов: ∠B = 180° — ∠A = 180° — 84° = 96°.

По свойству противоположных углов: ∠D = ∠B = 96°.

Ответ: ∠B = ∠D = 96°, ∠C = 84°.

б) ∠A − ∠B = 55°

У нас есть система уравнений:

1) ∠A — ∠B = 55° (дано)

2) ∠A + ∠B = 180° (свойство смежных углов)

Сложим уравнения (1) и (2):

(∠A — ∠B) + (∠A + ∠B) = 55° + 180°

2∠A = 235°

∠A = 235° / 2 = 117,5°

Переведем десятичные градусы в градусы и минуты: 0,5° = 30′.

Значит, ∠A = 117°30′.

Теперь найдем ∠B из второго уравнения:

∠B = 180° — ∠A = 180° — 117,5° = 62,5°

Значит, ∠B = 62°30′.

По свойству противоположных углов: ∠C = ∠A = 117°30′.

По свойству противоположных углов: ∠D = ∠B = 62°30′.

Ответ: ∠A = ∠C = 117°30′, ∠B = ∠D = 62°30′.

в) ∠A + ∠C = 142°

По свойству противоположных углов: ∠A = ∠C.

Подставим ∠C на ∠A в данное уравнение:

∠A + ∠A = 142°

2∠A = 142°

∠A = 142° / 2 = 71°.

Значит, ∠C = ∠A = 71°.

По свойству смежных углов: ∠B = 180° — ∠A = 180° — 71° = 109°.

По свойству противоположных углов: ∠D = ∠B = 109°.

Ответ: ∠A = ∠C = 71°, ∠B = ∠D = 109°.

г) ∠A = 2∠B

По свойству смежных углов: ∠A + ∠B = 180°.

Подставим ∠A = 2∠B в это уравнение:

2∠B + ∠B = 180°

3∠B = 180°

∠B = 180° / 3 = 60°.

Теперь найдем ∠A:

∠A = 2 * ∠B = 2 * 60° = 120°.

По свойству противоположных углов: ∠C = ∠A = 120°.

По свойству противоположных углов: ∠D = ∠B = 60°.

Ответ: ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60°.

д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°

Здесь даны углы, образованные диагональю AC в треугольнике ACD.

Сумма углов в треугольнике ACD равна 180°. Найдем ∠ADC:

∠ADC = 180° — ∠CAD — ∠ACD = 180° — 16° — 37° = 180° — 53° = 127°.

Итак, ∠D = 127°.

По свойству противоположных углов параллелограмма: ∠B = ∠D = 127°.

По свойству смежных углов: ∠A = 180° — ∠D = 180° — 127° = 53°.

По свойству противоположных углов параллелограмма: ∠C = ∠A = 53°. В параллелограмме AD || BC, и AC является секущей. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы равны: ∠BCA = ∠CAD = 16°. Тогда ∠C = ∠BCA + ∠ACD = 16° + 37° = 53°, что совпадает с ∠A.

Ответ: ∠A = ∠C = 53°, ∠B = ∠D = 127°.