ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 350 стр. 94

1) Докажем, что угол C = 90°.

Допустим, что угол C не равен 90°. В этом случае основания высот А1 и В1 не совпадают с вершиной С. Точка А1 лежит на прямой ВС, а точка В1 лежит на прямой АС, но А1 ≠ С и В1 ≠ С

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник АА1С (с прямым углом при А1).

Поскольку ∠А1 ≠ ∠С, АС является гипотенузой этого прямоугольного треугольника (или катетом, если ∠C тупой — но мы доказываем, что ∠C=90°, так что пока рассмотрим случай острого или прямого ∠C; если ∠C тупой, A1 лежит на продолжении BC за C, и AC все равно гипотенуза в ΔAA1C, где ∠A1=90°).

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, следовательно, АА1 < АС.

По условию задачи имеем BB1 ≥ AC, что равносильно AC ≤ BB1.

Из АА1 < АС и АС ≤ BB1 следует, что АА1 < BB1.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ВВ1С (с прямым углом при В1).

Поскольку ∠В1 ≠ ∠С, ВС является гипотенузой этого прямоугольного треугольника (или катетом, аналогично п.2).

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, следовательно, BВ1 < ВС.

По условию задачи имеем AA1 ≥ BC, что равносильно BC ≤ AA1.

Из BВ1 < ВС и BC ≤ AA1 следует, что BB1 < AA1.

4) Мы получили два неравенства: АA1 < BB1 (из п.2) и ВB1 < AA1 (из п.3). Эти неравенства противоречат друг другу (число не может быть одновременно строго меньше и строго больше другого числа).

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что угол C не равен 90° (и, как следствие, ∠А1≠∠С и ∠В1≠∠С), неверно.

Значит, верным является противоположное утверждение: угол C равен 90°.

Если угол C = 90°, то высота AA1 совпадает со стороной АС (поскольку АС перпендикулярна ВС), и основание А1 совпадает с ∠С. То есть ∠А1 = ∠С.

Аналогично, высота BB1 совпадает со стороной BC (поскольку BC перпендикулярна АС), и основание ∠В1 совпадает с ∠С. То есть ∠В1 = ∠С.

Таким образом, если ∠C = 90°, то точки А1, В1 и С совпадают.

5) Поскольку угол C = 90°, то, как мы установили в п.4, основание высоты АА1 совпадает с С, и длина АА1 равна длине стороны АС (АА1 = АС).

Также основание высоты BB1 совпадает с С, и длина BB1 равна длине стороны BC (BB1 = BC).

Теперь подставим эти равенства (АА1 = АС и BB1 = BC) в исходные условия:

Условие AA1 ≥ BC становится АС ≥ BC.

Условие BB1 ≥ AC становится BC ≥ AC.

Мы получили два неравенства: АС ≥ BC и ВС ≥ АС. Это возможно только в случае равенства сторон: АС = BC.

6) Итак, мы доказали, что в треугольнике АВС угол C = 90° (он прямоугольный) и АС = ВС (он равнобедренный).

Таким образом, треугольник АВС является равнобедренным и прямоугольным, что и требовалось доказать.