ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 349 стр. 94

Пусть дан треугольник ABC, CM — медиана, проведённая из вершины C к стороне AB, CH — высота, проведённая из вершины C к стороне AB, угол C (∠ACB) разделён на три равные части медианой CM и высотой CH, то есть: ∠ACH = ∠MCH = ∠MCB. Пусть каждый из этих углов равен α. Следовательно, ∠ACB = 3α.

1. Рассмотрим треугольник ACM и свойства отрезка CH:

CH является высотой в треугольнике ABC, значит, CH ⊥ AB.

Из условия дано, что ∠ACH = ∠MCH. Это означает, что CH является биссектрисой угла ACM в треугольнике ACM.

В треугольнике ACM отрезок CH является одновременно высотой (к стороне AM) и биссектрисой (угла ACM).

Если в треугольнике высота является одновременно биссектрисой, то такой треугольник является равнобедренным.

Следовательно, треугольник ACM — равнобедренный с основанием AM, что означает AC = CM.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является медианой. Таким образом, CH является медианой к стороне AM, откуда следует, что H — середина AM.

Пусть AH = HM = x.

Так как CM — медиана треугольника ABC, то M является серединой стороны AB. Следовательно, AM = MB.

AM = AH + HM = x + x = 2x.

Значит, MB = AM = 2x.

2. Из точки M (середины AB) опустим перпендикуляр MD на сторону BC. (MD ⊥ BC).

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники CHM и CDM:

Треугольник CHM — прямоугольный, так как CH ⊥ AB. (∠CHM = 90°).

Треугольник CDM — прямоугольный, так как MD ⊥ BC (по построению). (∠CDM = 90°).

У них есть общая гипотенуза CM.

Углы ∠MCH и ∠MCB (который является ∠MCD в треугольнике CDM) равны по условию (равны α).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу, треугольник CHM равен треугольнику CDM.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: HM = MD.

Поскольку HM = x (из пункта 1), то MD = x.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник MDB:

Треугольник MDB — прямоугольный, так как MD ⊥ BC. (∠MDB = 90°).

В этом треугольнике гипотенуза MB = 2x (из пункта 1).

Катет MD = x (из пункта 3).

Мы видим, что катет MD равен половине гипотенузы MB (MD = 0,5 * MB).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Следовательно, угол, лежащий напротив катета MD, то есть ∠DBM (или ∠B), равен 30°. Итак, ∠B = 30°.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH:

Треугольник BCH — прямоугольный, так как CH ⊥ AB. (∠CHB = 90°).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

Следовательно, ∠BCH + ∠B = 90°.

Подставим значение ∠B = 30°: ∠BCH + 30° = 90°.

∠BCH = 90° — 30° = 60°.

6. Найдем величину угла C (∠ACB):

По условию, угол C разделён на три равные части по α: ∠ACH = ∠MCH = ∠MCB = α.

Угол ∠BCH состоит из двух частей: ∠MCH + ∠MCB = α + α = 2α.

Мы нашли, что ∠BCH = 60°.

Значит, 2α = 60°.

Отсюда, α = 30°.

Теперь найдем весь угол C: ∠ACB = 3α = 3 * 30° = 90°.

Поскольку угол C (∠ACB) равен 90°, треугольник ABC является прямоугольным.

Что и требовалось доказать.