ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 348 стр. 94

Пусть △ABC — прямоугольный треугольник, где ∠C=90∘, AC<BC, CM — медиана, CD — биссектриса, CH — высота.

1. Поскольку CD является биссектрисой, то:

∠ACD=∠BCD=1/2​∠C=90∘​/2=45∘.

2. Пусть угол B=α, тогда угол A=90∘−α.

Угол

∠ACH=90∘−∠A=90∘−(90∘−α)=α.

3. В прямоугольном треугольнике ABC медиана CM делит сторону AB пополам, следовательно CM=MB=MC.

4. Треугольник CMB является равнобедренным (так как CM=MB), значит ∠B=∠BCM=α.

5. Угол AMC является внешним углом для треугольника CMB:

∠AMC=α+α=2α.

6. Рассмотрим углы в треугольнике ACD:

∠ADC=180∘−(∠A+∠ACD)=180∘−(90∘−α+45∘)=45∘+α.

∠CDB=180∘−∠ADC=180∘−(45∘+α)=135∘−α.

7. В треугольнике CDM:

∠MCD=∠BCD−∠BCM=45∘−α.

8. В треугольнике CHD:

∠HCD=∠ACD−∠ACH=45∘−α.

9. Мы получили равенство углов ∠MCD = ∠HCD.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой пополам:

∠MCD=∠HCD

что и требовалось доказать.