ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 338 стр. 93

Пусть ABC — произвольный треугольник, и пусть D и E — точки, лежащие на сторонах AB и AC соответственно. Мы будем рассматривать два случая расположения отрезка DE.

Случай 1: один из концов отрезка лежит на наибольшей стороне треугольника

Предположим, что сторона AB является наибольшей стороной треугольника (AB>AC и AB>BC).

1. Если отрезок DE соединяет вершину A с точкой E, которая лежит на стороне BC, то по теореме о треугольниках AE<AB.

2. Рассмотрим треугольник ABE:

DE<AE или DE<BE.

Поскольку мы знаем, что AE<AB,а также BE<BC<AB,

Следовательно, DE<AB.

Случай 2: ни один из концов отрезка не лежит на стороне AB

Теперь предположим, что ни один из концов отрезка DE не лежит на стороне AB.

1. Пусть точка D лежит на стороне AC, а точка E — на стороне BC. Тогда отрезок AD. По аналогии с предыдущим случаем AE<AB.

2. Теперь рассмотрим треугольник ACE:

DE<AE или DE<CE.

Поскольку мы знаем, что AE<AB, а также CE<BC<AB. Следовательно:

DE<AB.

В обоих случаях мы доказали, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон этого треугольника. Таким образом, мы приходим к заключению:

DE<AB

что и требовалось доказать.