Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 302 стр. 90

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 302 стр. 90

1...351352353...387

302 стр. 90

Условие

Из точки А к прямой a проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:

а) если АМ1 = АМ2, то НМ1 = НМ2;

б) если АМ1 < АМ2, то HM1 < HM2.

Решение #1

а) Если $A M_{1} = A M_{2}$ , то $H M_{1} = H M_{2}$ .

1. Рассмотрим треугольники $M_{1} A H$ и $M_{2} A H.$ Эти треугольники являются прямоугольными, так как $A H$ — перпендикуляр к прямой $a$ . Угол $A H M_{1} = 9 0^{\circ}$ и угол $A H M_{2} = 9 0^{\circ}$ .

2. Общий катет в обоих треугольниках — это отрезок $A H$ .

3. По условию, $A M_{1} = A M_{2}$ .

4. Таким образом, по двум катетам (катет $A H$ и равные стороны $A M_{1}$ и $A M_{2}$ ) треугольники $M_{1} A H$ и $M_{2} A H$ равны:

$M_{1} A H = M_{2} A H .$

5. Из равенства треугольников следует, что:

$H M_{1} = H M_{2} .$

Таким образом, мы доказали, что если $A M_{1} = A M_{2}$ , то $H M_{1} = H M_{2}$ .

б) Если $A M_{1} < A M_{2}$ , то $H M_{1} < H M_{2}$ .

1. Рассмотрим треугольник $M_{1} A H$ :

Угол $A H M_{1}$ является острым, так как $A H$ перпендикулярно прямой $a$ .

2. Рассмотрим треугольник $M_{2} A H$ :

Угол $A H M_{2}$ также является острым по той же причине.

3. Поскольку по условию наклонная линия из точки А к точке М₁ меньше наклонной линии к точке М₂ (т.е. если $A M ₁ < A M ₂$ ), это означает, что при фиксированной высоте (отрезок AH), длина проекции на прямую a для наклонной линии будет меньше.

4. В результате этого, высота из точки А к точкам М₁ и М₂ будет различаться: высота до точки М₁ (то есть отрезок НМ₁) будет меньше высоты до точки М₂ (то есть отрезок НМ₂).

Таким образом, мы приходим к выводу: $H M ₁ < H M ₂.$

Сообщить об ошибке

1...351352353...387