Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 301 стр. 90

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 301 стр. 90

1...350351352...411

301 стр. 90

Условие

Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:

а) если HM1 = HM2, то AM1 = AM2;

б) если HM1 < HM2, то AM1 < АМ2.

Решение #1

а) Если $H M_{1} = H M_{2}$ , то $A M_{1} = A M_{2}$ .

1. Рассмотрим треугольники $M_{1} A H$ и $M_{2} A H$ .

Эти треугольники являются прямоугольными, так как $A H$ — перпендикуляр к прямой $a$ . Угол $A H M_{1} = 9 0^{\circ}$ и угол $A H M_{2} = 9 0^{\circ}$ .

2. Общий катет в обоих треугольниках — это отрезок $A H$ .

3. По условию, $H M_{1} = H M_{2}$ .

4. Таким образом, по двум катетам (катет $A H$ и равные стороны $H M_{1}$ и $H M_{2}$ ) треугольники $M_{1} A H$ и $M_{2} A H$ равны:

$M_{1} A H = M_{2} A H .$

5. Из равенства треугольников следует, что:

$A M_{1} = A M_{2} .$

Таким образом, мы доказали, что если $H M_{1} = H M_{2}$ , то $A M_{1} = A M_{2}$ .

б) Если $H M_{1} < H M_{2}$ , то $A M_{1} < A M_{2}$ .

1. Рассмотрим треугольник $A N M_{1}$ :

Угол $A H M_{1}$ является острым, так как $A H$ перпендикулярно прямой $a$ .

2. Рассмотрим треугольник $A N M_{2}$ :

Угол $A H M_{2}$ также является острым по той же причине.

3. Угол между наклонными линиями:

$∠ A M_{1} M_{2} + ∠ A H M_{1} = 18 0^{\circ} .$

Это означает, что угол $A M_{1} M_{2}$ является тупым.

4. Поскольку угол $A M_{1} M_{2}$ тупой, это значит, что отрезок $A M_{1}$ лежит против острого угла при вершине в точке $M_{1}$ . Следовательно, отрезок наклонной линии из точки А к точке М₂ будет длиннее наклонной линии к точке М₁. Таким образом, если высота из точки А к прямой а меньше для точки М₁ (т.е. если $H M ₁ < H M ₂$ ), то длина наклонной линии будет меньше для точки М₁.

Итак, мы пришли к выводу:

$A M ₁ < A M ₂.$

Сообщить об ошибке

1...350351352...411