ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 279 стр. 86

Пусть a — данная прямая в плоскости. Обозначим расстояние от этой прямой до точки A как h.

Для каждой точки A, B и C, которая равноудалена от прямой a, проведем перпендикуляры:

• AA1​⊥a,
• BB1​⊥a,
• CC1​⊥a.

При этом длины этих перпендикуляров равны:

AA1​=BB1​=CC1​=h.

Теперь через точку A проведем прямую b, которая будет параллельна прямой a:

b∥a (по аксиоме о параллельных прямых).

Все точки на прямой b будут равноудалены от прямой a. Это следует из того, что расстояние между двумя параллельными прямыми всегда одинаково.

Теперь докажем, что точки B и C принадлежат к прямой b:

Предположим, что точки B и C не принадлежат к прямой b. В этом случае расстояние от точки B до прямой a будет больше или меньше, чем заданное расстояние h=AA1​.

Это противоречит условию задачи, согласно которому все точки должны быть равноудалены от данной прямой.

Таким образом, если все точки по одну сторону от данной прямой и равноудалены от неё, то они обязательно лежат на прямой, параллельной данной. Мы показали, что:

A,B,C∈b.