Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 239 стр. 74

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 239 стр. 74

1...275276277...536

239 стр. 74

Условие

Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Решение #1

Пусть дан треугольник $A BC$ с вершиной $A$ , основанием $BC$ , и медианой $A D$ , проведенной из вершины $A$ к середине основания $BC$ . Высота из вершины $A$ обозначена как $A H$ .

1. Рассмотрим треугольник $A B D$ :

Пусть $D$ — середина стороны $BC$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B D$ , где угол $A D B = 9 0^{\circ}$ (высота из точки $A$ ). В этом треугольнике угол $K = 9 0^{\circ}$ является наибольшим углом, следовательно, по свойству треугольников $A D > B D,$ где $A D$ — медиана, а $B D$ — отрезок, который соединяет точку $B$ с серединой основания.

2. Теперь рассмотрим высоту $A H$ . Она также опущена из вершины $A$ на основание $BC$ . Поскольку высота делит угол при вершине и образует прямой угол с основанием, то в прямоугольном треугольнике $A H < A D .$

3. Если треугольник равнобедренный ( $A B = A C$ ), то медиана и высота будут равны: $A D = A H .$

4. Если треугольник равносторонний ( $A B = A C = BC$ ), то медиана совпадает с высотой: $A D = A H .$

5. В любом случае (независимо от типа треугольника), мы всегда приходим к выводу, что медиана не меньше высоты: $A D \geq A H .$

Сообщить об ошибке

1...275276277...536