Главная/ 7 класс/ Геометрия/ Геометрия 7-9/ 221 стр. 68

ГДЗ по геометрии 7 класс В. Ф. Бутузов, И. И. Юдина, Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк упражнение - 221 стр. 68

1...258259260...751

221 стр. 68

Условие

Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Решение #1

1. Пусть точка $E$ — середина отрезка $A C и$ точка $F$ — середина отрезка $A B$ .

2. Треугольники $CBF$ и $FN A$ :

Поскольку $BF = F A$ , то сторона $A B$ равна половине стороны треугольника.

Также имеем, что $CF = FN$ .

Углы $BFC$ и $NF A$ равны (как вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (по критерию равенства треугольников), получаем:

$△ CBF= △ FN A .$

3. Углы $BCF = NF A и у$ глы $CBF = F A N$ .

4. Треугольники $A ME$ и $BEC$ :

Поскольку точка $E$ — середина отрезка $A C$ , то имеем: $BE = EM$ .

Также имеем $CE = E A$ .

Углы $BEC = A EM$ (как вертикальные углы).

Следовательно, по двум сторонам и углу между ними, получаем:

$△ A ME= △ BEC .$

5. Углы $BCE = E A M и у$ глы $CBE = EM A$ .

6. Рассмотрим прямую секущую:

Прямые $BC$ и $A N$ :

Углы накрест лежащие: $BCF = EM A .$ Значит, по признаку параллельных прямых, $BC ∣∣ A N .$

7. Теперь рассмотрим другую секущую:

Прямые $BC$ и $A M$ :

Накрест лежащие углы: $CBE = EM A .$ Значит, по признаку параллельных прямых, $BC ∣∣ A M .$

8. Мы получили два утверждения о параллельности: $BC ∣∣ A N$ и $BC ∣∣ A M.$

Это означает, что если обе прямые проходят через одну общую точку (точку A), то они совпадают по аксиоме о параллельных прямых.

Таким образом, точки $A, M, N$ лежат на одной прямой.

Сообщить об ошибке

1...258259260...751