Средняя скорость на всем пути вычисляется по формуле:

${\upsilon }_{ср}=\frac{s}{t_1+t_2}$

Найдем время, за которое автомобиль проходит каждую половину пути:

${\upsilon }_1=\frac{0,5s}{t_1} \Rightarrow t_1=\frac{0,5s}{{\upsilon }_1}$

${\upsilon }_2=\frac{0,5s}{t_2} \Rightarrow t_2=\frac{0,5s}{{\upsilon }_2}$

Тогда средняя скорость равна:

${\upsilon }_{ср}=\frac{s}{{\displaystyle \frac{0,5s}{{\upsilon }_1}}+{\displaystyle \frac{0,5s}{{\upsilon }_2}}}=\frac{s}{{\displaystyle \frac{s}{2}}({\displaystyle \frac{1}{{\upsilon }_1}}+{\displaystyle \frac{1}{{\upsilon }_2}})}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{{\upsilon }_1}}+{\displaystyle \frac{1}{{\upsilon }_2}}}=\frac{2{\upsilon }_1{\upsilon }_2}{{\upsilon }_1+{\upsilon }_2}=\frac{2·10·15}{10+15}=12 \mathrm{м}/\mathrm{с}$

Среднее арифметическое скоростей равно:

${\upsilon }_{а}=\frac{{\upsilon }_1+{\upsilon }_2}{2}$

Докажем, что средняя скорость меньше средней арифметическо скорости:

$$\begin{gathered} \frac{2{\upsilon }_1{\upsilon }_2}{{\upsilon }_1+{\upsilon }_2}\le \frac{{\upsilon }_1+{\upsilon }_2}{2} \\ 4{\upsilon }_1{\upsilon }_2\le {({\upsilon }_1+{\upsilon }_2)}^2 \\ 4{\upsilon }_1{\upsilon }_2\le {\upsilon }_1^2+2{\upsilon }_1{\upsilon }_2+{\upsilon }_2^2 \\ {\upsilon }_1^2—2{\upsilon }_1{\upsilon }_2+{\upsilon }_2^2\ge 0 \\ {\left({\upsilon }_1—{\upsilon }_2\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

Что и требовалось доказать