$1) x^{—2\sqrt{2}}·{\left(\frac{1}{x^{—\sqrt{2}—1}}\right)}^{\sqrt{2}+1}.$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^{—n}=\frac{1}{a^n}, {\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}$

и формулой сокращенного умножения

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2.$ $x^{—2\sqrt{2}}·{\left(\frac{1}{x^{—\sqrt{2}—1}}\right)}^{\sqrt{2}+1}=x^{—2\sqrt{2}}·{\left(x^{\sqrt{2}+1}\right)}^{\sqrt{2}+1}=x^{—2\sqrt{2}}·x^{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}=x^{—2\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}={x^{—2\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\sqrt{2}+1}}^2=x^{—2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}+1}=x^3.$ $2) {\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}—1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}·\frac{a^{—1—\sqrt{3}}}{b^{—2}}.$

Воспользуемся свойствами степеней

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}, {\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}$

и формулой сокращенного умножения

$a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$ ${\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}—1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}·\frac{a^{—1—\sqrt{3}}}{b^{—2}}=\frac{{\left(a^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{{\left(b^{\sqrt{3}—1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}·\frac{a^{—1—\sqrt{3}}}{b^{—2}}=\frac{a^{\sqrt{3}·\left(\sqrt{3}+1\right)}}{b^{\left(\sqrt{3}—1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}·\frac{a^{—1—\sqrt{3}}}{b^{—2}}=\frac{a^{\sqrt{3}·\sqrt{3}+\sqrt{3}}}{b^{{\left(\sqrt{3}\right)}^2—1^2}}·\frac{a^{—1—\sqrt{3}}}{b^{—2}}=\frac{a^{3+\sqrt{3}}}{b^{3—1}}·\frac{a^{—1—\sqrt{3}}}{b^{—2}}=\frac{a^{3+\sqrt{3}+\left(—1—\sqrt{3}\right)}}{b^{3—1+\left(—2\right)}}=\frac{a^2}{b^0}=\frac{a^2}{{}^1}=a^2.$