$1)\frac{m^{\sqrt{3}}·n^{\sqrt{3}}}{{\left(mn\right)}^{2+\sqrt{3}}}.$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^n·b^n={\left(ab\right)}^n, a^{—n}=\frac{1}{a^n}, \frac{a^m}{a^n}=a^{m—n}.$ $\frac{m^{\sqrt{3}}·n^{\sqrt{3}}}{{\left(mn\right)}^{2+\sqrt{3}}}=\frac{{\left(mn\right)}^{\sqrt{3}}}{{\left(mn\right)}^{2+\sqrt{3}}}={\left(mn\right)}^{\sqrt{3}—\left(2+\sqrt{3}\right)}={\left(mn\right)}^{\sqrt{3}—2—\sqrt{3}}={\left(mn\right)}^{—2}=\frac{1}{{\left(mn\right)}^2}=\frac{1}{m^2{n}^2}.$ $2) \frac{x^{\sqrt{7}}·y^{\sqrt{7}+1}}{{\left(xy\right)}^{\sqrt{7}}}.$

Воспользуемся свойствами степеней

$a^n·b^n={\left(ab\right)}^n, a^{n+m}=a^n·a^m.$ $\frac{x^{\sqrt{7}}·y^{\sqrt{7}+1}}{{\left(xy\right)}^{\sqrt{7}}}=\frac{x^{\sqrt{7}}·y^{\sqrt{7}}·y^1}{{\left(xy\right)}^{\sqrt{7}}}=\frac{{\left(xy\right)}^{\sqrt{7}}·y}{{\left(xy\right)}^{\sqrt{7}}}=y.$ $3) \left(a^{\sqrt{2}}—b^{\sqrt{3}}\right)\left(a^{\sqrt{2}}+b^{\sqrt{3}}\right).$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$\left(a—b\right)\left(a+b\right)=a^2—b^2$

и свойством степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}.$ $\left(a^{\sqrt{2}}—b^{\sqrt{3}}\right)\left(a^{\sqrt{2}}+b^{\sqrt{3}}\right)={\left(a^{\sqrt{2}}\right)}^2—{\left(b^{\sqrt{3}}\right)}^2=a^{2\sqrt{2}}—b^{2\sqrt{3}}.$ $4) \left(2a^{—0,5}—\frac{1}{3}{b}^{—\sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{3}{b}^{—\sqrt{3}}+2a^{—0,5}\right).$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

$\left(a—b\right)\left(a+b\right)=a^2—b^2$

и свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}, {\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n, a^{—n}=\frac{1}{a^n}.$ $\left(2a^{—0,5}—\frac{1}{3}{b}^{—\sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{3}{b}^{—\sqrt{3}}+2a^{—0,5}\right)={\left(2a^{—0,5}\right)}^2—{\left(\frac{1}{3}{b}^{—\sqrt{3}}\right)}^2=4a^{—2·0,5}—\frac{1}{9}{b}^{—2\sqrt{3}}=4a^{—1}—\frac{1}{9}{b}^{—2\sqrt{3}}=\frac{4}{a}—\frac{1}{9b^{2\sqrt{3}}}.$