81 стр. 33, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 81 стр. 33

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

1...474849...155

81 стр. 33

Условие

Упростить выражение:

$1) (1 — 2 \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}) : {(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}^{2}; 2) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) : (2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}});$ $3) \frac{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{5}{4}}} — \frac{b^{— \frac{1}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + b^{— \frac{1}{2}}}; 4) \frac{\sqrt{a} — a^{— \frac{1}{2}} b}{1 — \sqrt{a^{— 1} b}} — \frac{\sqrt[3]{a^{2}} — a^{— \frac{1}{3}} b}{\sqrt[6]{a} + a^{— \frac{1}{3}} \sqrt{b}} .$

Решение #1

$1) (1 — 2 \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}) : {(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}^{2} .$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n \cdot m} = {(a^{n})}^{m}$

и свойством корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} .$ $(1 — 2 \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}) : {(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}^{2} = (1 — 2 \cdot {(\frac{b}{a})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{b}{a})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) : {(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}^{2} = (1 — 2 \cdot 1 \cdot {(\frac{b}{a})}^{\frac{1}{2}} + {({(\frac{b}{a})}^{\frac{1}{2}})}^{2}) : {(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}^{2} .$

Воспользуемся свойством формулой сокращенного умножения

${(a — b)}^{2} = a^{2} — 2 a b + b^{2} .$ $(1 — 2 \cdot 1 \cdot {(\frac{b}{a})}^{\frac{1}{2}} + {({(\frac{b}{a})}^{\frac{1}{2}})}^{2}) : {(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 — {(\frac{b}{a})}^{\frac{1}{2}})}^{2} : {(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 — \sqrt{\frac{b}{a}})}^{2} : {(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2} = {(1 — \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}})}^{2} : {(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2} = {(\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a}})}^{2} : {(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2} .$

Воспользуемся свойством степеней

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} .$ ${(\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a}})}^{2} : {(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2} = \frac{{(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2}}{{(\sqrt{a})}^{2}} : {(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2} = \frac{{(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2}}{{(a^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2}} = \frac{{(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2}}{a^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot {(\sqrt{a} — \sqrt{b})}^{2}} = \frac{1}{a} = a^{— 1} .$ $2) (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) : (2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}) .$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}, \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} .$ $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) : (2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}) = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) : (2 + \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} + \frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}}) = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) : (\frac{2 \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b}} + \frac{\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b} \sqrt[3]{a}} + \frac{\sqrt[3]{b} \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b}}) = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) : (\frac{2 \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + {(\sqrt[3]{a})}^{2} + {(\sqrt[3]{b})}^{2}}{\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b}}) .$

Воспользуемся свойством формулой сокращенного умножения

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .$ $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) : (\frac{2 \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + {(\sqrt[3]{a})}^{2} + {(\sqrt[3]{b})}^{2}}{\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b}}) = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) : \frac{{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}^{2}}{\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b}} = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot \frac{\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b}}{{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}^{2}} = \frac{\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} .$ $3) \frac{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{5}{4}}} — \frac{b^{— \frac{1}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + b^{— \frac{1}{2}}} .$

Воспользуемся свойством степеней

$a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m} .$ $\frac{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{5}{4}}} — \frac{b^{— \frac{1}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + b^{— \frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}} — \frac{b^{— \frac{1}{2}} — b^{— \frac{1}{2} + \frac{4}{2}}}{b^{— \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + b^{— \frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4} + 2}}{a^{\frac{1}{4}} — a^{1 + \frac{1}{4}}} — \frac{b^{— \frac{1}{2}} — b^{— \frac{1}{2} + 2}}{b^{— \frac{1}{2} + 1} + b^{— \frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{2}}{a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{1}} — \frac{b^{— \frac{1}{2}} — b^{— \frac{1}{2}} \cdot b^{2}}{b^{— \frac{1}{2}} \cdot b^{1} + b^{— \frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{4}} (1 — a^{2})}{a^{\frac{1}{4}} (1 — a)} — \frac{b^{— \frac{1}{2}} (1 — b^{2})}{b^{— \frac{1}{2}} (b + 1)} .$

Воспользуемся свойством формулой сокращенного умножения

$a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$ $\frac{a^{\frac{1}{4}} (1 — a^{2})}{a^{\frac{1}{4}} (1 — a)} — \frac{b^{— \frac{1}{2}} (1 — b^{2})}{b^{— \frac{1}{2}} (b + 1)} = \frac{(1 — a^{2})}{(1 — a)} — \frac{(1 — b^{2})}{(b + 1)} = \frac{(1 — a) (1 + a)}{(1 — a)} — \frac{(1 — b) (1 + b)}{(b + 1)} = (1 + a) — (1 — b) = 1 + a — 1 + b = a + b .$ $4) \frac{\sqrt{a} — a^{— \frac{1}{2}} b}{1 — \sqrt{a^{— 1} b}} — \frac{\sqrt[3]{a^{2}} — a^{— \frac{1}{3}} b}{\sqrt[6]{a} + a^{— \frac{1}{3}} \sqrt{b}} .$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}, \sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$

и свойством степеней

$a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m} .$ $\frac{\sqrt{a} — a^{— \frac{1}{2}} b}{1 — \sqrt{a^{— 1} b}} — \frac{\sqrt[3]{a^{2}} — a^{— \frac{1}{3}} b}{\sqrt[6]{a} + a^{— \frac{1}{3}} \sqrt{b}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} — a^{— \frac{1}{2}} b}{1 — {(a^{— 1} b)}^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}} — a^{— \frac{1}{3}} b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{— \frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} — a^{— \frac{1}{2}} b}{1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}} — a^{— \frac{1}{3}} b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{— \frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} — a^{— \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} b}{1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}} — a^{— \frac{3}{3} + \frac{2}{3}} b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{— \frac{1}{3} — \frac{1}{6} + \frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} — a^{— 1 + \frac{1}{2}} b}{1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}} — a^{— 1 + \frac{2}{3}} b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{— \frac{2}{6} — \frac{1}{6} + \frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} (1 — a^{— 1} b)}{1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}} (1 — a^{— 1} b)}{a^{\frac{1}{6}} (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}})} .$

Воспользуемся свойством степеней

$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n — m}$

свойством формулой сокращенного умножения

$a^{2} — b^{2} = (a — b) (a + b) .$ $\frac{a^{\frac{1}{2}} (1 — a^{— 1} b)}{1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}} (1 — a^{— 1} b)}{a^{\frac{1}{6}} (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a^{\frac{1}{2}} (1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}})}{1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}} (1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{6}} (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}})} = a^{\frac{1}{2}} (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) — a^{\frac{2}{3} — \frac{1}{6}} (1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}} (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) — a^{\frac{4}{6} — \frac{1}{6}} (1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}} (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) — a^{\frac{1}{2}} (1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) .$

Вынесем

$a^{\frac{1}{2}}$

за скобки.

$a^{\frac{1}{2}} (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) — a^{\frac{1}{2}} (1 — a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}} (1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} — 1 + a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}} \cdot 2 a^{— \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} = 2 a^{— \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} = 2 a^{0} b^{\frac{1}{2}} = 2 b^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{b} .$

Сообщить об ошибке

1...474849...155