$1) 2^{2—3\sqrt{5}}·8^{\sqrt{5}}.$

Воспользуемся свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}.$ $2^{2—3\sqrt{5}}·8^{\sqrt{5}}=2^{2—3\sqrt{5}}·{\left(2^3\right)}^{\sqrt{5}}=2^{2—3\sqrt{5}}·2^{3\sqrt{5}}=2^{2—3\sqrt{5}+3\sqrt{5}}=2^2=4.$ $2) 3^{1+2\sqrt[3]{2}}:9^{\sqrt[3]{2}}.$

Воспользуемся свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^n·a^m=a^{n+m}.$ $3^{1+2\sqrt[3]{2}}:9^{\sqrt[3]{2}}=3^{1+2\sqrt[3]{2}}:{\left(3^2\right)}^{\sqrt[3]{2}}=3^{1+2\sqrt[3]{2}}:3^{2\sqrt[3]{2}}=3^{1+2\sqrt[3]{2}—2\sqrt[3]{2}}=3^1=3.$ $3) {\left(5^{1+\sqrt{2}}\right)}^{1—\sqrt{2}}.$

Воспользуемся свойством степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}$

и формулой сокращенного умножения

$\left(a—b\right)\left(a+b\right)=a^2—b^2.$ ${\left(5^{1+\sqrt{2}}\right)}^{1—\sqrt{2}}=5^{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1—\sqrt{2}\right)}=5^{1^2—{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=5^{1—2}=5^{—1}=\frac{1}{5}=0,2.$ $4) {\left(5^{1—\sqrt{5}}\right)}^{1+\sqrt{5}}—{\left(\sqrt{5}\right)}^0.$

Воспользуемся свойствами степеней

${\left(a^n\right)}^m=a^{n·m}, a^0=1$

и формулой сокращенного умножения

$\left(a—b\right)\left(a+b\right)=a^2—b^2.$ ${\left(5^{1—\sqrt{5}}\right)}^{1+\sqrt{5}}—{\left(\sqrt{5}\right)}^0=5^{\left(1—\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}—1=5^{1^2—{\left(\sqrt{5}\right)}^2}—1=5^{1—5}—1=5^{—4}—1={\left(\frac{1}{5}\right)}^4—1={\left(0,2\right)}^4—1=0,0016—1=—0,9984.$