ГДЗ по алгебре 10 класс Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. и др. упражнение - 47 стр. 23

$1) \frac{\sqrt[3]{49}·\sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}}.$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.$ $\frac{\sqrt[3]{49}·\sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}}=\frac{\sqrt[3]{49·112}}{\sqrt[3]{250}}=\sqrt[3]{\frac{49·112}{250}}=\sqrt[3]{\frac{7^2·7·16}{250}}=\sqrt[3]{\frac{7^3·16·4}{250·4}}=\sqrt[3]{\frac{7^3·4^3}{{10}^3}}=\frac{7·4}{10}=2,8.$ $2) \frac{\sqrt[4]{54}·\sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}}.$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.$ $\frac{\sqrt[4]{54}·\sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}}=\sqrt[4]{\frac{54·120}{5}}=\sqrt[4]{\frac{54·5·24}{5}}=\sqrt[4]{54·24}=\sqrt[4]{27·2·8·3}=\sqrt{3^3·2·2^3·3}=\sqrt{3^4·2^4}=3·2=6.$ $3) \frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}}+\sqrt[6]{{27}^2}—\sqrt{\sqrt[3]{64}}.$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a},\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

и свойством степеней

${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n}.$ $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}}+\sqrt[6]{{27}^2}—\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[4]{\frac{32}{2}}+\sqrt[6]{{\left(3^3\right)}^2}—\sqrt[2·3]{64}=\sqrt[4]{16}+\sqrt[6]{3^{3·2}}—\sqrt[6]{64}=\sqrt[4]{2^4}+\sqrt[6]{3^6}—\sqrt[6]{2^6}=2+3—2=3.$ $4) \sqrt[3]{3\frac{3}{8}}+\sqrt[4]{18}·\sqrt[4]{4\frac{1}{2}}—\sqrt{\sqrt{256}}.$

Воспользуемся свойствами корней

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a},\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}.$ $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}+\sqrt[4]{18}·\sqrt[4]{4\frac{1}{2}}—\sqrt{\sqrt{256}}=\sqrt[3]{\frac{3·8+3}{8}}+\sqrt[4]{18}·\sqrt[4]{4,5}—\sqrt[2·2]{256}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}+\sqrt[4]{18·4,5}—\sqrt[4]{256}=\sqrt[3]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^3}+\sqrt[4]{81}—\sqrt[4]{4^4}=\sqrt[3]{{\left(1,5\right)}^3}+\sqrt[4]{3^4}—\sqrt[4]{4^4}=1,5+3—4=0,5.$ $5) \sqrt[3]{11—\sqrt{57}}· \sqrt[3]{11+\sqrt{57}}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

и формулой сокращенного умножения

$(a—b)(a+b)=a^2—b^2.$ $\sqrt[3]{11—\sqrt{57}}· \sqrt[3]{11+\sqrt{57}}=\sqrt[3]{\left(11—\sqrt{57}\right)\left(11+\sqrt{57}\right)}=\sqrt[3]{{11}^2—{\left(\sqrt{57}\right)}^2}=\sqrt[3]{121—57}=\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4.$ $6) \sqrt[4]{17—\sqrt{33}}·\sqrt[4]{17+\sqrt{33}}.$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

и формулой сокращенного умножения

$(a—b)(a+b)=a^2—b^2.$ $\sqrt[4]{17—\sqrt{33}}·\sqrt[4]{17+\sqrt{33}}=\sqrt[4]{\left(17—\sqrt{33}\right)\left(17—\sqrt{33}\right)}=\sqrt[4]{{17}^2—{\left(\sqrt{33}\right)}^2}=\sqrt[4]{289—33}=\sqrt[4]{256}=\sqrt[4]{4^4}=4.$