36 стр. 21, Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

Главная/ 10 класс/ Алгебра/ Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни/ 36 стр. 21

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни

1...929394...155

36 стр. 21

Условие

Вычислить:

$1) \sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{15}}; 2) \sqrt[3]{2^{3} \cdot 5^{6}}; 3) \sqrt[4]{3^{12} \cdot {(\frac{1}{3})}^{8}}; 4) \sqrt[5]{4^{30} \cdot {(\frac{1}{2})}^{20}} .$

Решение #1

$1) \sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{15}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} .$ $\sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{15}} = \sqrt[5]{3^{10}} \cdot \sqrt[5]{2^{15}} = \sqrt[5]{3^{5 \cdot 2}} \cdot \sqrt[5]{2^{3 \cdot 5}} = 3^{2} \cdot 2^{3} = 9 \cdot 8 = 72 .$ $2) \sqrt[3]{2^{3} \cdot 5^{6}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} .$ $\sqrt[3]{2^{3} \cdot 5^{6}} = \sqrt[3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3]{5^{6}} = \sqrt[3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3]{5^{3 \cdot 2}} = 2 \cdot 5^{2} = 2 \cdot 25 = 50 .$ $3) \sqrt[4]{3^{12} \cdot {(\frac{1}{3})}^{8}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} .$ $\sqrt[4]{3^{12} \cdot {(\frac{1}{3})}^{8}} = \sqrt[4]{3^{12}} \cdot \sqrt[4]{{(\frac{1}{3})}^{8}} = \sqrt[4]{3^{4 \cdot 3}} \cdot \sqrt[4]{{(\frac{1}{3})}^{4 \cdot 2}} = 3^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} = 27 \cdot \frac{1}{9} = 3 .$ $4) \sqrt[5]{4^{30} \cdot {(\frac{1}{2})}^{20}} .$

Воспользуемся свойством корней

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

и свойствами степеней

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}, {(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}, \frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n — m} .$ $\sqrt[5]{4^{30} \cdot {(\frac{1}{2})}^{20}} = \sqrt[5]{4^{30}} \cdot \sqrt[5]{{(\frac{1}{2})}^{20}} = \sqrt[5]{4^{5 \cdot 6}} \cdot \sqrt[5]{{(\frac{1}{2})}^{5 \cdot 4}} = 4^{6} \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} = {(2^{2})}^{6} \cdot \frac{1^{4}}{2^{4}} = 2^{12} \cdot \frac{1}{2^{4}} = 2^{8} = 512 .$

Сообщить об ошибке

1...929394...155