$1) \sqrt{x+\sqrt{6x—9}}+\sqrt{x—\sqrt{6x—9}}=\sqrt{6}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

${\left(\sqrt{x+\sqrt{6x—9}}+\sqrt{x—\sqrt{6x—9}}\right)}^2={\left(\sqrt{6}\right)}^2$

$\left(x+\sqrt{6x—9}\right)+2\sqrt{x—\sqrt{6x—9}}\sqrt{x+\sqrt{6x—9}}+\left(x—\sqrt{6x—9}\right)=6$

$2x+2\sqrt{\left(x—\sqrt{6x—9}\right)\left(x+\sqrt{6x—9}\right)}=6$

$2\sqrt{\left(x—\sqrt{6x—9}\right)\left(x+\sqrt{6x—9}\right)}=6—2x$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$

$2\sqrt{x^2—{\left(\sqrt{6x—9}\right)}^2}=6—2x$

$2\sqrt{x^2—6x+9}=6—2x$

Разделим обе части уравнения на $2:$

$\sqrt{x^2—6x+9}=3—x$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

${\left(\sqrt{x^2—6x+9}\right)}^2={\left(3—x\right)}^2$

$x^2—6x+9=9—6x+x^2$

$0=0$ (верно)

Значит $x$ может принимать любые значения.

Ответ: $R.$

$2) \sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x—\sqrt{x+11}}=4$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

${\left(\sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x—\sqrt{x+11}}\right)}^2=4^2$

$\left(x+\sqrt{x+11}\right)+2\left(\sqrt{x+\sqrt{x+11}}\right)\left(\sqrt{x—\sqrt{x+11}}\right)+\left(x—\sqrt{x+11}\right)=16$

$2x+2\sqrt{\left(x+\sqrt{x+11}\right)\left(x—\sqrt{x+11}\right)}=16$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2—b^2=\left(a—b\right)\left(a+b\right).$

$2\sqrt{x^2—{\left(\sqrt{x+11}\right)}^2}=16—2x$

$2\sqrt{x^2—x—11}=16—2x$

Разделим обе части уравнения на $2:$

$\sqrt{x^2—x—11}=8—x$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

${\left(\sqrt{x^2—x—11}\right)}^2={\left(8—x\right)}^2$

$x^2—x—11=64—16x+x^2$

$15x=75$

$x=5$

Проверка:

$\mathrm{x}=5:$ $\sqrt{5+\sqrt{5+11}}+\sqrt{5—\sqrt{5+11}}=4$

$\sqrt{5+4}+\sqrt{5—4}=4$

$4=4$ (верно)

Ответ:  $5.$