ГДЗ по алгебре 10 класс Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. и др. упражнение - 161 стр. 63

161 стр. 63

Условие

Решить уравнение.

$1) \sqrt[3]{x^{3} — 2} = x — 2;$ $2) \sqrt[3]{x^{3} — 5 x^{2} + 16 x — 5} = x — 2 .$

Решение #1

$1) \sqrt[3]{x^{3} — 2} = x — 2$

Возведём обе части уравнения в $3$ степень:

${(\sqrt[3]{x^{3} — 2})}^{3} = {(x — 2)}^{3}$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: ${(a — b)}^{3} = a^{3} — 3 a^{2} b + 3 a b^{2} — b^{3} .$

$x^{3} — 2 = x^{3} — 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} — 2^{3}$

$x^{3} — 2 = x^{3} — 6 x^{2} + 12 x — 8$

$x^{3} — 2 — x^{3} + 6 x^{2} — 12 x + 8 = 0$

$6 x^{2} — 12 x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на $6 :$

$x^{2} — 2 x + 1 = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = {(— 2)}^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$

$x_{1, 2} = \frac{— (— 2) + 0}{2} = 1$

Проверка:

$x = 1 :$ $\sqrt[3]{1^{3} — 2} = 1 — 2$

$— 1 = — 1$ (верно)

Ответ: $1 .$

$2) \sqrt[3]{x^{3} — 5 x^{2} + 16 x — 5} = x — 2$

Возведём обе части уравнения в $3$ степень:

${(\sqrt[3]{x^{3} — 5 x^{2} + 16 x — 5})}^{3} = {(x — 2)}^{3}$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: ${(a — b)}^{3} = a^{3} — 3 a^{2} b + 3 a b^{2} — b^{3} .$

$x^{3} — 5 x^{2} + 16 x — 5 = x^{3} — 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} — 2^{3}$

$x^{3} — 5 x^{2} + 16 x — 5 = x^{3} — 6 x^{2} + 12 x — 8$

$x^{3} — 5 x^{2} + 16 x — 5 — x^{3} + 6 x^{2} — 12 x + 8 = 0$

$x^{2} + 4 x + 3 = 0$

$D = b^{2} — 4 a c$

$x_{1, 2} = \frac{— b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$D = 4^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4$

$x_{1} = \frac{— 4 + 2}{2} = — 1$

$x_{1, 2} = \frac{— 4 — 2}{2} = — 3$

Проверка:

$x = — 1 :$ $\sqrt[3]{{(— 1)}^{3} — 5 \cdot {(— 1)}^{2} + 16 \cdot (— 1) — 5} = — 1 — 2$

$\sqrt[3]{— 27} = — 3$

$— 3 = — 3$ (верно)

$x = — 3 :$ $\sqrt[3]{{(— 3)}^{3} — 5 \cdot {(— 3)}^{2} + 16 \cdot (— 3) — 5} = — 3 — 2$

$\sqrt[3]{— 125} = — 5$

$— 5 = — 5$ (верно)

Ответ: $— 3; — 1 .$

Сообщить об ошибке